Bodrogi László a bringázást megelőzően a cselgánccsal próbálkozott, majd később iskolai szinten atletizált és kosárlabdázott. A nagymamánál töltött nyarakon azonban mindig a kerékpározásé volt a főszerep. 1988-ban egy televíziós felhívás nyomán indult el első kerékpáros versenyén, ahol az előkelő harmadik helyen végzett kategóriájában. A szülei ezek után próbáltak számára egyesületet találni, így egy újsághirdetés révén, Mahó László kezei alá került a Ferencvároshoz.
1990-ben a nyári szünet alkalmával kiutazott az édesapjához Franciaországba, ahol sikerült egy helyi csapatot találni, így itt folytathatta a versenyzést. Azon a nyáron szinte minden viadalt megnyert, aminek hatására a csapat vezetője megkérte, hogy maradjon Franciaországban. A szülei ebbe beleegyeztek, azonban ez azt jelentette, hogy ott kellett iskolába is járnia. 1991-től újra Pesten koptatta a gimnázium padjait, de minden hosszabb szünetben rögvest utazott is vissza Franciaországba versenyezni. Ha nem a franciákhoz ment, akkor Szlovákiába, ahol szintén volt egy csapat, aki foglalkoztatta. Az érettségi után továbbtanult a főiskolán, de fél év után a szüleivel együtt úgy döntöttek, hogy a kerékpáros karrierjét próbálják inkább előremozdítani. 1996 végén már úgy utazott ki Franciaországba, hogy életszerűen is ott fog maradni. 1997 végéig egy besançoni csapatnál versenyzett. Ekkor került kapcsolatba a Festinával és néhány év végi versenyen már indulhatott is náluk stagierként. A következő évben az amatőr csapatukhoz került, amely Lyon mellett székelt, abban a reményben, hogy 1998 végén újra Festina mezben tekerhessen és esetlegesen profi szerződést is kaphasson. Sajnos a Tour de France alatti események miatt ez nem sikerült. 1999-ben így visszatért egy Franch-Comté-i első osztályú amatőr csapathoz a CC Etupe-hoz.
Ezen év szeptemberében a Saint-Quentin-Oktos-MBK gárdájánál mutathatta meg képességeit, amit a Chrono des Herbiers versenyen elért negyedik helyévvel bizonyított is.
Édesapjával készítettek egy portfoliós anyagot, amit közel 20 profi csapatnak küldtek meg. Ebből 5 választ kaptak, de sajnos csak egyetlen pozitív levél volt köztük, mindössze a Mapei csapata adott számára lehetőséget.
A Mapei színeiben három évet töltött el. 2000-ben nyert szakaszt az Argentin Körversenyen, a Szlovén Körön, megnyerte a magyar nemzeti bajnokság mindkét diszciplínáját, napokon keresztül viselte a sárga trikót a Tour de l’Aveniren, megnyerte a Duo Normand egynaposát, majd harmadik helyen zárt a Plouay-i világbajnokság egyenkéntijén. 2001-ben folytatta remeklését nyolc első és további három dobogós helyet bepakolva a zsákba. Pályafutása tekintetében egyértelműen kimagaslott 2002-es esztendő. Ekkor szakaszt nyert a Párizs-Nizzán, a Dán Körversenyen, megnyerte a nemzeti bajnokság időfutamát és Fabian Cancellara oldalán győzött az Eddy Merckx Gran Prix-en is, amely eredményt mind a mai napig nagyon szívesen felemlegetünk. Nem mellékesen ebben az évben bemutatkozott a Tour de France-on, amelyet végül a 62. helyen zárt.
A Mapeies éveket követően két évet töltött a csapat jogutódjánál a Quick Step-Davitamonnal. 2003-ban a Francia Körversenyt ismételten csak végig tekerte az összetett 108. pozíciójában zárva, ám ez az év inkább volt jellemző a második helyekről, mint a győzelmekről, csupán a nemzeti időfutam-bajnokságot sikerült megnyernie. 2004-ben a De Panne háromnaposán diadalmaskodott a kronón. A Tour ezúttal kimaradt, míg a Vuelta Espanat a tizedik szakaszon volt kényetlen feladni.
Ezt követően négy esztendő következett a Credit Agricole színeiben. A váltás látszólag jól sikerült, hisz tavasszal ott volt a Milánó-SanRemó, a Flandria Körverseny, a Gent-Wevelgem illetőleg a Paris-Roubaix rajtjánál is. Második lett a Vendee Körversenyen, megnyerte a Luxemburgi Kört, a Tour de France alkalmával pedig végül a 115. helyen zárt, de mindkét egyenkéntin a Top 10-ben végezve. 2006-ben ismételten csak a tavaszi klasszikusokon virgonckodott, majd a magyar bajnokság letarolása után a hazai szurkolók legnagyobb örömére Podersdorfban is győzött az Osztrák Körverseny időfutamán. A nagy körversenyeket illetően ezúttal a Vuelta következett, amit sikeresen abszolvált a 76. helyen zárva. 2007-ben brutális mennyiségű versenynapot töltött a nyeregben, aminek meg is lett az eredménye, hisz a Stuttgarti Világbajnokságon a magyar kerékpársport máig egyik legjobb eredményével kirukkolva ezüstérmet szerzett. Az esemény közvetítése máig is felejthetetlen élmény.
2009 januárjában Laci felvette a francia állampolgárságot, amely rendesen megosztotta a hazai közvéleményt. Az öröm könnyei felszáradnak ugyan, de azt az érzést nem lehet felejteni, mikor Stuttgartban Cancellara mögött magyar bajnoki mezben a dobogó második fokán állhatott. Voltak, akik azonban könnyen felejtettek.
2009 és 2010 között a Katusha gárdájában versenyzett, s saját elmondása szerint legrosszabb éveit élte, az orosz csapatnál élvezte leginkább a versenyzést. Az előző év végi sérüléséből felépülve az oroszoknál csak májusban tudta megkezdeni az idényt, s végül kevés versenynappal, mindössze egy Podersdorf-i harmadik helyre futotta. 2010-ben talán az egyik leggyengébb idényével a háta mögött a francia nemzeti bajnokság bronzérmét kaparintotta meg az egyenkéntik tekintetében.
2011-ben a Team Type 1-hoz szerződött, ahol a feltételek ugyan adottak voltak, összejött egy Párizs-Tour ötödik hely is, azonban a csapat filozófiaváltása kapcsán 2013-ra már nem kapott szerződést, annak ellenére, hogy az itt töltött két éve alatt a csapat egyik legtapasztaltabb, legjobb segítőjeként szerepelt, ráadásul saját bevallása szerint is lett volna benne még egy-két jó év.
Laci saját elmondása szerint a legjobb csapat, amelynek pályafutása alatta tagja volt, egyértelműen a Mapei volt. Ezt követően került a Credit Agricolehoz ahol már érte néhány csalódás, de ennek ellenére ez is egy nagyszerű állomása volt a karrierjének.
A legemlékezetesebb versenyeként a Giro di Ponente szakaszgyőzelmére illetőleg összetett elsőségére emlékszik vissza. Ezen kívül az ifjúsági Tour de France a Tour de l’Avenir számos sárga trikójára és szakaszgyőzelmeire is mind a mai napig örömmel gondol.
Laci összességében hétszeres magyar bajnok (3 mezőnyverseny illetőleg 4 időfutam cím), GP Eddy Merckx győztes (2002), Luxemburgi Körverseny győztes (2005), világbajnoki ezüstérmes (időfutam) (2007).
Bodrogi László jelenleg a Le Guidon Bletteranois nevezetű utánpótláscsapatnál dolgozik, ahol kisfiai is versenyzik.
